Задача №2464
Условие
Доказать, что для любых положительных чисел \(\displaystyle{a}\), \(\displaystyle{b}\), \(\displaystyle{c}\) справедливо неравенство \(\displaystyle{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\ge{3}}\).
Решение
Мы знаем, что среднее арифметическое не меньше среднего геометрического. В частности, для трёх любых неотрицательных чисел имеем
\[
\frac{a_1+a_2+a_3}{3} \ge \sqrt[3]{a_1 a_2 a_3}
\]
Подставляя в это неравенство \(\displaystyle{a_1=\frac{a}{b}}\), \(\displaystyle{a_2=\frac{b}{c}}\) и \(\displaystyle{a_3=\frac{c}{c}}\), получим
\[
\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{c}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}
\Leftrightarrow
\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\ge{3}
\]
Ответ:
Неравенство доказано.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №4 | Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства |
| Задача №41 | |
| Пункт №1 |