Задача №2462
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}\frac{\sin\left( \pi{x^{\alpha}} \right)}{\sin\left( \pi{x^{\beta}} \right)}}\).
Решение
Сперва избавимся от синусов. В этом нам поможет формула \(\displaystyle{\sin{t}=-\sin(t-\pi)}\) и эквивалентность \(\displaystyle{\sin{z}\sim{z}}\) при \(\displaystyle{z\to{0}}\):
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{\sin\left( \pi{x^{\alpha}} \right)}{\sin\left( \pi{x^{\beta}} \right)}
=\lim_{x\to{1}}\frac{\sin\left( \pi{x^{\alpha}}-\pi \right)}{\sin\left( \pi{x^{\beta}}-\pi \right)}
=\lim_{x\to{1}}\frac{\pi{x^{\alpha}}-\pi}{\pi{x^{\beta}}-\pi}
=\lim_{x\to{1}}\frac{x^{\alpha}-1}{x^{\beta}-1}
\]
Далее применим эквивалентность \(\displaystyle{(1+z)^k-1\sim{kz}}\) при \(\displaystyle{z\to{0}}\):
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{x^{\alpha}-1}{x^{\beta}-1}
=\lim_{x\to{1}}\frac{(1+(x-1))^{\alpha}-1}{(1+(x-1))^{\beta}-1}
=\lim_{x\to{1}}\frac{\alpha(x-1)}{\beta(x-1)}
=\frac{\alpha}{\beta}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{\alpha}{\beta}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №545 | |
| Пункт №3 |