Задача №2461
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}\frac{\sin^2\left( \pi\cdot{2^x} \right)}{\ln\left( \cos\left( \pi\cdot{2^x} \right) \right)}}\).
Решение
Введём новую переменную \(\displaystyle{t}\) с таким расчётом, чтобы \(\displaystyle{t\to{0}}\). Принимая \(\displaystyle{t=\pi\cdot{2^x}-2\pi}\), получим:
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{\sin^2\left( \pi\cdot{2^x} \right)}{\ln\left( \cos\left( \pi\cdot{2^x} \right) \right)}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2\left(t+2\pi\right)}{\ln\cos\left( t+2\pi\right)}
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2 t}{\ln\cos{t}}
\]
Далее можно идти разными путями. Эквивалентности, замечательные пределы (и следствия из них), формулы Маклорена – всё, что угодно. Например, используем эквивалентности:
\[
\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2 t}{\ln\cos{t}}
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2 t}{\ln\left( 1+\cos{t}-1 \right)}
=\lim_{t\to{0}}\frac{t^2}{\cos{t}-1}
=\lim_{t\to{0}}\frac{t^2}{-\frac{t^2}{2}}
=-2
\]
Или можем закончить решение так:
\[
\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2 t}{\cos{t}-1}
=\lim_{t\to{0}}\frac{1-\cos^2 t}{\cos{t}-1}
=\lim_{t\to{0}}\frac{\left( 1-\cos{t} \right)\cdot\left( 1+\cos{t} \right)}{\cos{t}-1}
=\lim_{t\to{0}}\left( -1-\cos{t} \right)
=-2
\]
Ответ:
-2Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №545 | |
| Пункт №4 |