Задача №2460
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{a}}\frac{a^x-x^a}{x-a}}\) при \(\displaystyle{a\gt{0}}\).
Решение
\[
\frac{a^x-x^a}{x-a}
=\frac{a^x-a^a+a^a-x^a}{x-a}
=\frac{a^x-a^a}{x-a}-\frac{x^a-a^a}{x-a}
\]
Рассмотрим вспомогательные пределы, чтобы потом не загромождать записи. Будем использовать следствия из второго замечательного предела:
\[
\lim_{x\to{a}}\frac{a^x-a^a}{x-a}
=\lim_{x\to{a}}\left( a^a\cdot\frac{a^{x-a}-1}{x-a} \right)
=a^a\ln{a}
\]
Теперь обратимся к пределу от второго слагаемого в записанной выше сумме. Мне видится удобным сделать замену с таким расчётом, чтобы новая переменная устремилась к нулю:
\[
\lim_{x\to{a}}\frac{x^a-a^a}{x-a}
=\left[t=x-a\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{(a+t)^a-a^a}{t}=\\
=\lim_{t\to{0}}\left(a^a\cdot\frac{\left(1+\frac{t}{a}\right)^a-1}{t}\right)
=\lim_{t\to{0}}\left(a^{a-1}\cdot\frac{\left(1+\frac{t}{a}\right)^a-1}{\frac{t}{a}}\right)
=a^{a-1}\cdot{a}
=a^a
\]
Вернёмся к исходному пределу:
\[
\lim_{x\to{a}}\frac{a^x-x^a}{x-a}
=\lim_{x\to{a}}\left(\frac{a^x-a^a}{x-a}-\frac{x^a-a^a}{x-a}\right)
=a^a\ln{a} - a^a
=a^a\ln\frac{a}{e}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{a^a\ln\frac{a}{e}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №542 |