Задача №2459

Решение

Так как \(\displaystyle{1+\sqrt{3}}\) – корень многочлена \(\displaystyle{P(x)=x^4+ax^3+bx^2+6x+2}\), то \(\displaystyle{P(1+\sqrt{3})=0}\).

Так как \(\displaystyle{P(1+\sqrt{3})=0}\), то имеем

Если \(\displaystyle{6a+2b+22\neq{0}}\), то получим

В левой части этого равенства имеем иррациональное число \(\displaystyle{\sqrt{3}}\), а в правой части рациональное число. Это противоречие означает, что \(\displaystyle{6a+2b+22=0}\). А отсюда из равенства (1) имеем \(\displaystyle{10a+4b+36=0}\), т.е.

Кстати, тут можно сразу сделать небольшое лирическое отступление: при вычислении \(\displaystyle{P(1-\sqrt{3})}\) мы получим результат, очень похожий на формулу (1), однако с противоположным знаком перед \(\displaystyle{\sqrt{3}}\), т.е.

С учётом равенств (2) сразу можно сделать вывод, что \(\displaystyle{P(1-\sqrt{3})=0}\), т.е. \(\displaystyle{1-\sqrt{3}}\) – тоже корень многочлена \(\displaystyle{P(x)}\). Однако вернёмся к системе (2) и решим её:

Итак, имеем \(\displaystyle{P(x)=x^4-4x^3+x^2+6x+2}\). Дальше можно рассуждать по-разному, но я предпочту так: многочлен \(\displaystyle{P(x)}\) представим как произведение многочленов второй степени:

Мы станем полагать трёхчлены \(\displaystyle{Q_2(x)}\) и \(\displaystyle{R_2(x)}\) приведёнными, т.е. такими, для которых коэффициенты перед \(\displaystyle{x^2}\) равны 1.

Пусть числа \(\displaystyle{x_1=1+\sqrt{x}}\) и \(\displaystyle{x_2=1-\sqrt{3}}\) – корни многочлена \(\displaystyle{Q_2(x)=x^2+px+q}\). Согласно теореме Виета это означает, что

Итак, \(\displaystyle{Q_2(x)=x^2-2x-2}\), т.е.

Далее остаётся найти \(\displaystyle{R_2(x)}\). Тут можно поступить по-разному. Можно, например, разделить в столбик \(\displaystyle{P(x)}\) на \(\displaystyle{x^2-2x-2}\), получив при этом \(\displaystyle{R(x)=x^2-2x-1}\). Можно отыскать многочлен \(\displaystyle{R_2(x)}\) и иным путём. Полагая \(\displaystyle{R_2(x)=x^2+cx+d}\), будем иметь:

Свободные члены многочленов в левой и правой частях равенства должны быть одинаковыми, поэтому \(\displaystyle{-2d=2}\), т.е. \(\displaystyle{d=-1}\). Далее, приравнивая коэффициенты при \(\displaystyle{x^3}\), будем иметь \(\displaystyle{c-2=-4}\), т.е. \(\displaystyle{c=-2}\). Отсюда вновь имеем \(\displaystyle{R(x)=x^2-2x-1}\).

Далее решение агоритмично – найти корни трёхчлена \(\displaystyle{R_2(x)}\).