Задача №2458

Решение

Сразу хотелось бы отметить, что числа \(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{p}\) не могут быть совсем уж любыми целыми. Степени переменной \(\displaystyle{x}\) должны быть неотрицательными, ведь речь идёт о многочлене, поэтому ни один из упомянутых параметров не может быть меньше нуля. Для краткости обозначим

Решать эту задачу можно по-разному. Для начала, сугубо для наглядности, рассмотрим вариант с непосредственным нахождением корней квадратного трёхчлена \(\displaystyle{x^2+x+1}\), не привлекая никаких дополнительных свойств. Решая соответствующее квадратное уравнение мы получим, что \(\displaystyle{x_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\) и \(\displaystyle{x_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\). Или в тригонометрической форме

Тогда при любом целом \(\displaystyle{k}\) имеем

Аналогично и \(\displaystyle{x_{2}^{3k}=1}\). Кроме того, помним, что \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_2}\) – корни квадратного трёхчлена \(\displaystyle{x^2+x+1}\), т.е. \(\displaystyle{x_{1}^{2}+x_1+1=0}\) и \(\displaystyle{x_{2}^{2}+x_2+1=0}\).

Вернёмся к исходному многочлену \(\displaystyle{P(x)}\) и покажем, что \(\displaystyle{x_1}\) – корень данного многочлена:

Аналогично имеем \(\displaystyle{P(x_2)=0}\). Так как \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_2}\) – корни многочлена \(\displaystyle{P(x)}\), то многочлен \(\displaystyle{P(x)}\) можно представить в такой форме:

Следовательно, многочлен \(\displaystyle{P(x)}\) нацело делится на \(\displaystyle{x^2+x+1}\).

Записанное выше решение, пусть и формально верное, приведено мною больше с целью наглядности. В данной задаче вовсе не обязательно было находить конкретные значения корней квадратного уравнения. Достаточно лишь обосновать, что эти корни, возведённые в третью степень, равны 1.

Для такого обоснования рассмотрим уравнение \(\displaystyle{x^3-1=0}\), решениями которого являются три корня кубических из единицы: \(\displaystyle{x_0}\), \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_2}\), т.е. для любого из этих чисел имеем \(\displaystyle{x_{i}^{3}=1}\).

Таким образом, \(\displaystyle{x_0=1}\), а \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_2}\) – это корни квадратного трёхчлена \(\displaystyle{x^2+x+1}\). При этом для них сохраняется свойство \(\displaystyle{x_{i}^{3}=1}\), т.е. \(\displaystyle{x_{1}^{3}=1}\) и \(\displaystyle{x_{2}^{3}=1}\). А это, в свою очередь, означает, что подставляя любой из этих корней (например, \(\displaystyle{x_1}\)) в многочлен \(\displaystyle{P(x)}\), будем иметь

Кстати, проверять, что \(\displaystyle{P(x_2)=0}\), вовсе не обязательно (хоть это и легко сделать). Дело в том, что \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_2}\) являются комплексно-сопряжёнными числами. А так как многочлен \(\displaystyle{P(x)}\) имеет действительные коэффициенты и \(\displaystyle{x_1}\) – его корень, то сопряжённое число \(\displaystyle{x_2}\) также будет его корнем.