Задача №2457

Условие

Доказать, что функция \(\displaystyle{y=\left(x^2-1\right)^n}\) удовлетворяет соотношению

\[ \left(x^2-1\right)y^{(n+2)} + 2xy^{(n+1)} - n(n+1)y^{(n)} = 0 \]

Решение

Для дальнейшего решения полагаем \(\displaystyle{n\ge{2}}\). Случай \(\displaystyle{n=1}\) легко проверить непосредственно. Продифференцируем обе части равенства \(\displaystyle{y=\left(x^2-1\right)^n}\):

\[ y'=n\cdot\left(x^2-1\right)^{n-1}\cdot{2x}\\ \left(x^2-1\right)y'=2nx\cdot\left(x^2-1\right)^{n}\\ \left(x^2-1\right)y'=2nx\cdot{y} \]

Дифференцируем обе части полученного равенства:

\[ 2xy'+ \left(x^2-1\right)y'' =2ny+2nxy' \]

\[ \left(x^2-1\right)y'' + (2x-2nx)y'-2ny=0 \]

Теперь находим производную n-го порядка обеих частей полученного равенства:

\[ \begin{equation} \left(\left(x^2-1\right)y''\right)^{(n)} + 2(1-n)\cdot\left(xy'\right)^{(n)}-2n\cdot{y}^{(n)}=0 \tag{✳} \end{equation} \]

Применим формулу Лейбница. Сперва найдём производную для первого слагаемого:

\[ \left(\left(x^2-1\right)y''\right)^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\left(x^2-1\right)^{(k)}\left(y''\right)^{(n-k)} = \sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\left(x^2-1\right)^{(k)}y^{(n-k+2)} \]

Так как при \(\displaystyle{k\gt{2}}\) имеем \(\displaystyle{\left(x^2-1\right)^{(k)}=0}\), то в записанной сумме ненулевыми будут лишь три слагаемых: при \(\displaystyle{k=0}\), \(\displaystyle{k=1}\) и \(\displaystyle{k=2}\).

\[ \left(\left(x^2-1\right)y''\right)^{(n)} = \left(x^2-1\right)y^{(n+2)} + 2nxy^{(n+1)} + n(n-1)y^{(n)} \]

Применим формулу Лейбница и для второго слагаемого:

\[ \left(xy'\right)^{(n)} =\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{(k)}\left(y'\right)^{(n-k)} =\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{(k)}y^{(n-k+1)} \]

В записанной сумме ненулевыми будут лишь два слагаемых: при \(\displaystyle{k=0}\) и \(\displaystyle{k=1}\):

\[ \left(xy'\right)^{(n)} =xy^{(n+1)} + ny^{(n)} \]

Левая часть равенства (✳) с учётом вышеизложенного примет такой вид:

\[ \left(\left(x^2-1\right)y''\right)^{(n)} + 2(1-n)\cdot\left(xy'\right)^{(n)}-2n\cdot{y}^{(n)}=\\ =\left(x^2-1\right)y^{(n+2)} + 2nxy^{(n+1)} + n(n-1)y^{(n)} + 2(1-n)\left(xy^{(n+1)} + ny^{(n)} \right)-2n\cdot{y}^{(n)}=\\ =\left(x^2-1\right)y^{(n+2)} + 2xy^{(n+1)} - n(n+1)y^{(n)} \]

Следовательно, равенство (✳) примет такой вид:

\[ \left(x^2-1\right)y^{(n+2)} + 2xy^{(n+1)} - n(n+1)y^{(n)} = 0 \]

Ответ:

Утверждение задачи доказано.

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №3	Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление
Параграф №5	Повторное дифференцирование
Задача №1041