Задача №2448
Условие
Показать, что \(\displaystyle{f(x)=1-x^4-\cos{x^2}}\) – бесконечно малая функция при \(\displaystyle{x\to{0}}\) и найти функцию \(\displaystyle{g(x)}\) вида \(\displaystyle{Ax^n}\) такую, что \(\displaystyle{f(x)\sim{g(x)}}\) при \(\displaystyle{x\to{0}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}f(x)
=\lim_{x\to{0}}\left(1-x^4-\cos{x^2}\right)
=1-0^4-1
=0
\]
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{f(x)}{g(x)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x^2}-x^4}{Ax^n}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\sin\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}}\right)^2-1}{Ax^{n-4}}
\]
Функция в числителе стремится к \(\displaystyle{-\frac{1}{2}}\) при \(\displaystyle{x\to{0}}\). Знаменатель будет стремиться к некоей отличной от нуля константе \(\displaystyle{A}\) если \(\displaystyle{n=4}\).
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\sin\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}}\right)^2-1}{Ax^{n-4}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\sin\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}}\right)^2-1}{A}
=-\frac{1}{2A}
\]
Из равенства \(\displaystyle{-\frac{1}{2A}=1}\) имеем \(\displaystyle{A=-\frac{1}{2}}\). Итак, \(\displaystyle{g(x)=-\frac{x^4}{2}}\).
Ответ:
\(\displaystyle{g(x)=-\frac{x^4}{2}}\).Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №9 | Предел функции |
| Задача №48 | |
| Пункт №3 |