Задача №2445
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\sin{x}}{1+\cos^2{x}}dx}\).
Решение
Первый способ
Обозначим \(\displaystyle{J=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\sin{x}}{1+\cos^2{x}}dx}\).
\[
J
=\left[\begin{aligned}& x=\pi - y; \\ & dx=-dy. \end{aligned}\right]
=-\int\limits_{\pi}^{0}\frac{(\pi-y)\sin(\pi-y)}{1+\cos^2 (\pi-y)}dy=\\
=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{(\pi-y)\sin{y}}{1+\cos^2{y}}dy
=-\pi\int\limits_{0}^{\pi}\frac{d(\cos{y})}{1+\cos^2{y}}-\int\limits_{0}^{\pi}\frac{y\sin{y}}{1+\cos^2{y}}dy
=\frac{\pi^2}{2} - J
\]
Имеем равенство \(\displaystyle{J=\frac{\pi^2}{2} - J}\), откуда \(\displaystyle{J=\frac{\pi^2}{4}}\).
Второй способ
Можно применить готовую формулу:
\[
\int\limits_{0}^{\pi}xf(\sin{x})dx
=\frac{\pi}{2}\int\limits_{0}^{\pi}f(\sin{x})dx
\]
Фактически \(\displaystyle{\frac{\sin{x}}{1+\cos^2{x}}}\) есть функция от \(\displaystyle{\sin{x}}\), так как
\[
\frac{\sin{x}}{1+\cos^2{x}}
=\frac{\sin{x}}{2-\sin^2{x}}
\]
Таким образом, мы можем использовать записанную выше формулу:
\[
\int\limits_{0}^{\pi}x\cdot\frac{\sin{x}}{1+\cos^2{x}}dx
=\frac{\pi}{2}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin{x}}{1+\cos^2{x}}dx
=\frac{\pi^2}{4}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{\pi^2}{4}}\)Источники задачи
| Задачник №3 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2) |
| Параграф №6 | Определённый интеграл |
| Задача №192 |