Задача №2443

Решение

Обозначим \(\displaystyle{f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}}\). Рассмотрим вспомогательный интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{\alpha}f(x)dx}\), где \(\displaystyle{0\lt\alpha\lt{1}}\). Этот интеграл можно найти по частям. Принимая \(\displaystyle{u=\ln\frac{1+x}{1-x}}\) и \(\displaystyle{dv=\frac{x^3dx}{\sqrt{1-x^2}}}\), получим \(\displaystyle{v=-\frac{1}{3}\sqrt{1-x^2}\left(x^2+2\right)}\), \(\displaystyle{vdu=-\frac{2}{3}\cdot\frac{\left(x^2+2\right)dx}{\sqrt{1-x^2}}}\).

Также полезным будет тот факт, что первое слагаемое в правой части записанного выше равенства стремится к 0 при \(\displaystyle{\alpha\to{1-0}}\). Это легко доказать, если учесть, что при \(\displaystyle{0\lt\alpha\lt{1}}\) получим:

Применяя правило Лопиталя, убеждаемся, что \(\displaystyle{\sqrt{1-\alpha}\ln\frac{1+\alpha}{1-\alpha}\to{0}}\), откуда будет следовать то, что и всё выражение тоже стремится к нулю.

Далее, функция \(\displaystyle{f(x)}\) – чётная. Учтём это:

Таким образом, для исходного интеграла получим: