Задача №2442

Решение

Для начала рассмотрим случай \(\displaystyle{A\gt{0}}\). Так как \(\displaystyle{f(x)\to{A}}\), то существует число \(\displaystyle{b\gt{0}}\) такое, что при \(\displaystyle{x\gt{b}}\) имеем \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\).

Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{A}=1}\) и интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{b}^{+\infty}Adx}\) расходится, то будет расходиться и интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{b}^{+\infty}f(x)dx}\). Отсюда незамедлительно следует расходимость интеграла \(\displaystyle{\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx}\).

Если же \(\displaystyle{A\lt{0}}\), то рассмотрим функцию \(\displaystyle{g(x)=-f(x)}\), для которой имеем \(\displaystyle{g(x)\to{-A}}\), где \(\displaystyle{-A\gt{0}}\). Согласно доказанному ранее, интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{a}^{+\infty}g(x)dx}\) расходится. Это значит, что будет расходиться и интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{a}^{+\infty}(-g(x))dx}\), т.е. \(\displaystyle{\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx}\).