Задача №2441

Решение

В данной задаче дано указание: доказать, что \(\displaystyle{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\lt\frac{1}{n}}\). Из данного неравенства непосредственно следует доказываемое утверждение. Действительно, так как \(\displaystyle{1+\frac{1}{n}\gt{1}}\), то \(\displaystyle{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\gt{0}}\). Отсюда имеем двойное неравенство:

Так как \(\displaystyle{\frac{1}{n}\to{0}}\), то и \(\displaystyle{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\to{0}}\).

Таким образом, если удастся доказать требуемое неравенство, то задача будет решена. Рассмотрим последовательность \(\displaystyle{x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\). В любом курсе математического анализа (Кудрявцев, Фихтенгольц, Дороговцев, Зорич и т.д.) доказывается, что данная последовательность возрастает и ограничена сверху, а предел её равен \(\displaystyle{e}\).

При этом отметим, что если последовательность \(\displaystyle{\{a_n\}}\) возрастает и ограничена сверху, то \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\sup\{a_n\}}\). Для последовательности \(\displaystyle{x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\), соответственно, имеем \(\displaystyle{\sup\{x_n\}=e}\). Это значит, что \(\displaystyle{x_n\le{e}}\).

Однако если предположить, что найдётся некий номер \(\displaystyle{k}\), для которого \(\displaystyle{x_k=e}\), то ввиду \(\displaystyle{x_{k+1}\gt{x_k}}\) имеем \(\displaystyle{x_{k+1}\gt{e}}\), а это уже противоречит определению точной верхней грани. Следовательно, \(\displaystyle{x_n\lt{e}}\).

Требуемое неравенство доказано, а из него сразу следует утверждение задачи.