Задача №2435

Решение

Разобъём множества \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\) на непересекающиеся подмножества:

Так как \(\displaystyle{A\setminus{B}\sim{B}\setminus{A}}\), то существует биекция \(\displaystyle{f:A\setminus{B}\to{B}\setminus{A}}\). Продолжим эту биекцию на всё множество \(\displaystyle{A}\). Для этого достаточно принять \(\displaystyle{f(a)=a}\) для любого элемента \(\displaystyle{a\in{A}\cap{B}}\). Для наглядности схематически эта биекция изображена на рисунке:

Таким образом, мы задали биекцию \(\displaystyle{f:A\to{B}}\), что и означает равномощность рассматриваемых множеств, т.е. \(\displaystyle{A\sim{B}}\).