Задача №2434

Решение

Уберём из множества \(\displaystyle{B}\) те элементы, которые принадлежат также и множеству \(\displaystyle{A}\):

Множество \(\displaystyle{B}\) является счётным, а множество \(\displaystyle{B\setminus{A}}\) – его подмножеством. Любое подмножество счётного множества является или конечным, или счётным, посему множество \(\displaystyle{C=B\setminus{A}}\) – не более чем счётное.

Таким образом, рассматриваемую задачу можно переформулировать: требуется доказать, что множество \(\displaystyle{A\cup{C}}\) равномощно множеству \(\displaystyle{A}\), где множество \(\displaystyle{C}\) не более чем счётное, причём \(\displaystyle{A\cap{C}=\varnothing}\). Построим биекцию множеств \(\displaystyle{A\cup{C}}\) и \(\displaystyle{A}\). Тем самым мы и докажем, что \(\displaystyle{A\cup{C}\sim{A}}\).

Так как \(\displaystyle{A}\) – бесконечное множество, то из него можно выделить счётное подмножество \(\displaystyle{\overline{A}}\), при этом

Отмечу, что множества \(\displaystyle{A\setminus\overline{A}}\) и \(\displaystyle{\overline{A}\cup{C}}\) не пересекаются. Само множество \(\displaystyle{A}\) тоже состоит из двух непересекающихся множеств:

Так как множество \(\displaystyle{\overline{A}}\) счётное, а множество \(\displaystyle{C}\) не более чем счётное, то \(\displaystyle{\overline{A}\cup{C}}\) – счётное множество, т.е. \(\displaystyle{\overline{A}\cup{C}\sim\overline{A}}\). Это значит, что существует биекция \(\displaystyle{f:\overline{A}\cup{C}\to\overline{A}}\).

Продолжим эту биекцию на всё множество \(\displaystyle{A\cup{C}}\). Для этого достаточно принять \(\displaystyle{f(a)=a}\) для любого элемента \(\displaystyle{a\in{A\setminus\overline{A}}}\). Для наглядности схематически эта биекция изображена на рисунке:

Таким образом, мы задали биекцию \(\displaystyle{f:A\cup{C}\to{A}}\), что и означает равномощность рассматриваемых множеств, т.е. \(\displaystyle{A\cup{C}\sim{A}}\).