Задача №2433
Условие
С помощью определённых интегралов найти предел суммы:
\[
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{n+n}\right)
\]
Решение
\[
\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+n}
=\frac{1}{\frac{1}{n}+1}\cdot\frac{1}{n}+\frac{1}{\frac{2}{n}+1}\cdot\frac{1}{n}
+ \ldots + \frac{1}{\frac{n}{n}+1}\cdot\frac{1}{n}
=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\frac{i}{n}+1}\cdot\frac{1}{n}\right)
\]
Выше записана интегральная сумма для функции \(\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x+1}}\) на отрезке \(\displaystyle{[0;1]}\) при условии разбиения отрезка на \(\displaystyle{n}\) равных частей. В качестве точек \(\displaystyle{\xi_i}\) на каждом отрезке выбираем \(\displaystyle{\frac{i}{n}}\).
\[
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{n+n}\right)
=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\frac{i}{n}+1}\cdot\frac{1}{n}\right)
=\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x+1}
=\ln{2}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln{2}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №4 | Определённый интеграл |
| Задача №2220 |