Задача №2432

Решение

Если \(\displaystyle{x\neq{0}}\), то ввиду \(\displaystyle{x^2\gt{0}}\) и \(\displaystyle{\cos\frac{1}{x}\ge{-1}}\) имеем \(\displaystyle{y(x)\gt{0}}\), т.е. \(\displaystyle{y(x)\gt{y(0)}}\) в любой окрестности точки \(\displaystyle{x=0}\). Это и говорит о том, что функция имеет строгий минимум в точке \(\displaystyle{x=0}\).

Докажем, что ни в каком интервале \(\displaystyle{(0;\delta)}\), где \(\displaystyle{\delta\gt{0}}\), функция не является возрастающей. Рассмотрим две последовательности: \(\displaystyle{a_n = \frac{1}{-\pi + 2\pi{n}}}\) и \(\displaystyle{b_n = \frac{1}{2\pi{n}}}\). При любом \(\displaystyle{n\in{N}}\) имеем \(\displaystyle{a_n\gt{b_n}\gt{0}}\). Из того, что \(\displaystyle{a_n\to{0}}\) и \(\displaystyle{b_n\to{0}}\) следует, что для любого \(\displaystyle{\delta\gt{0}}\) найдётся номер \(\displaystyle{n_0}\), начиная с которого \(\displaystyle{0\lt{a_n}\lt\delta}\) и \(\displaystyle{0\lt{b_n}\lt\delta}\).

Так как при любом \(\displaystyle{n\ge{2}}\) верно неравенство \(\displaystyle{8n^2 - 12n +3\gt{0}}\), то при \(\displaystyle{n\ge\max(n_0, \, 2)}\) имеем \(\displaystyle{a_n\in(0;\delta)}\) и \(\displaystyle{b_n\in(0;\delta)}\), причём

Итак, каким бы ни было значение \(\displaystyle{\delta\gt{0}}\), в интервале \(\displaystyle{(0;\delta)}\) найдутся значения аргумента \(\displaystyle{x_2\gt{x_1}}\), где \(\displaystyle{x_1=b_n}\) и \(\displaystyle{x_2=a_n}\), для которых \(\displaystyle{y(x_2)\lt{y(x_1)}}\). Это и означает, что ни в каком из интервалов \(\displaystyle{(0;\delta)}\) функция не будет возрастающей.

Аналогично доказывается тот факт, что функция \(\displaystyle{y(x)}\) не является убывающей ни в одном из интервалов \(\displaystyle{(-\delta;0)}\).