Задача №2431
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{x^4\left(x^3+1\right)^2}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{x^4\left(x^3+1\right)^2}
=\int\frac{x^2dx}{x^6\left(x^3+1\right)^2}
=\left[u=x^3\right]=\\
=\frac{1}{3}\int\frac{du}{u^2\left(u+1\right)^2}
=\frac{1}{3}\int\left(-\frac{2}{u}+\frac{1}{u^2}+\frac{2}{u+1} + \frac{1}{(u+1)^2} \right)du=\\
=\frac{1}{3}\cdot\left(-2\ln|u| - \frac{1}{u} + 2\ln|u+1| - \frac{1}{u+1}\right) + C
=-\frac{2x^3+1}{3x^3\left(x^3 + 1 \right)} + \frac{2}{3}\ln\left|\frac{x^3+1}{x^3}\right| + C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{2x^3+1}{3x^3\left(x^3 + 1 \right)} + \frac{2}{3}\ln\left|\frac{x^3+1}{x^3}\right| + C}\)Источники задачи
| Задачник №3 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2) |
| Параграф №2 | Интегрирование рациональных функций |
| Задача №9 | |
| Пункт №8 |