Задача №2426

Решение

В записанном выше двойном неравенстве имеем \(\displaystyle{n\in{Z}}\). Если \(\displaystyle{n=0}\), то \(\displaystyle{x\lt{-1}}\). Если же \(\displaystyle{n\in{Z}\setminus\{0\}}\), то \(\displaystyle{x\in\left(\frac{1}{2n};\frac{1}{2n-1}\right)}\).

Аналогично для случая \(\displaystyle{\sin\frac{\pi}{x}\gt{0}}\) получим \(\displaystyle{x\gt{1}}\) или \(\displaystyle{x\in\left(\frac{1}{2n+1};\frac{1}{2n}\right)}\), \(\displaystyle{n\in{Z}\setminus\{0\}}\). Если же \(\displaystyle{x=\frac{1}{n}}\), \(\displaystyle{n\in{Z}\setminus\{0\}}\), то \(\displaystyle{\sin\frac{\pi}{x}=0}\). Таким образом, мы приходим к следующему выражению для заданной функции \(\displaystyle{y}\):

Из вышеизложенного следует, что нам должно исследовать на разрыв точку \(\displaystyle{x=0}\), а также точки \(\displaystyle{x=\frac{1}{n}}\), где \(\displaystyle{n\in{Z}\setminus\{0\}}\). В каждой из точек вида \(\displaystyle{\frac{1}{n}}\) односторонние пределы будут равны 1 и -1, т.е. функция терпит разрыв первого рода.

Исследуем на разрыв точку \(\displaystyle{x=0}\). В этой точке односторонние пределы не существуют. Проиллюстрируем это на примере правостороннего предела \(\displaystyle{\lim_{x\to{0+0}}y(x)}\). Для последовательности \(\displaystyle{a_k=\frac{1}{k}}\) получим

В то же время для последовательности \(\displaystyle{b_k=\frac{1}{2k+\frac{1}{2}}}\) будем иметь

Так как \(\displaystyle{\lim_{k\to\infty}y\left(a_k\right)\neq\lim_{k\to\infty}y\left(b_k\right)}\), то \(\displaystyle{\lim_{x\to{0+0}}y(x)}\) не существует, откуда следует, что \(\displaystyle{x=0}\) – точка разрыва второго рода.