Задача №2425
Условие
Найти функцию \(\displaystyle{s=f(x,y)}\), если \(\displaystyle{s}\) – площадь ромба, \(\displaystyle{x}\) – его периметр, \(\displaystyle{y}\) – сумма длин его диагоналей. Вычислить \(\displaystyle{f(1,2)}\).
Решение
Обозначим диагонали ромба как \(\displaystyle{d_1}\) и \(\displaystyle{d_2}\), тогда \(\displaystyle{y=d_1+d_2}\). Сторона ромба равна \(\displaystyle{\frac{x}{4}}\), поэтому согласно теореме Пифагора, имеем
\[
\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = \left(\frac{x}{4}\right)^2
\]
\[
\begin{equation}
d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = \frac{x^2}{4}.
\end{equation}
\]
С другой стороны, \(\displaystyle{s=\frac{d_1d_2}{2}}\), откуда
\[
\begin{equation}
2d_1d_2 = 4s
\end{equation}
\]
Суммируя равенства (1) и (2), получим:
\[
d_{1}^{2} + 2d_1d_2 + d_{2}^{2} = \frac{x^2}{4} + 4s;\;
\left(d_1 + d_2\right)^2 = \frac{x^2}{4} + 4s;\;
4s=y^2 - \frac{x^2}{4};\;
s = \frac{4y^2-x^2}{16}.
\]
Так как \(\displaystyle{s = \frac{4y^2-x^2}{16}}\), то \(\displaystyle{s(1;2) = \frac{15}{16}}\).
Ответ:
\(\displaystyle{s = \frac{4y^2-x^2}{16}}\); \(\displaystyle{f(1;2) = \frac{15}{16}}\).Источники задачи
| Задачник №4 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №3) |
| Параграф №2 | Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Отображения |
| Задача №1 |