Задача №2423
Условие
Доказать, что если функция \(\displaystyle{f}\) дифференцируема на отрезке \(\displaystyle{[1;2]}\), то существует такая точка \(\displaystyle{\xi\in(1;2)}\), что \(\displaystyle{f(2)-f(1)=\frac{\xi^2}{2}f'(\xi)}\).
Решение
Рассмотрим функцию \(\displaystyle{g(x)=\frac{1}{x}}\) на отрезке \(\displaystyle{[1;2]}\). Функция \(\displaystyle{g(x)}\) непрерывна на отрезке \(\displaystyle{[1;2]}\), а производная этой функции, т.е. \(\displaystyle{g'(x)=-\frac{1}{x^2}}\), существует и конечна в каждой точке интервала \(\displaystyle{(1;2)}\). При этом \(\displaystyle{g'(x)\neq{0}}\) во всех точках интервала \(\displaystyle{(1;2)}\).
Согласно условию, функция \(\displaystyle{f(x)}\) дифференцируема на отрезке \(\displaystyle{[1;2]}\), следовательно она непрерывна на нём. Применяя теорему Коши к функциям \(\displaystyle{f(x)}\) и \(\displaystyle{g(x)}\), получим:
Утверждение доказано.
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №16 | Теоремы о среднем для дифференцируемых функций |
| Задача №30 |