Задача №2390

Решение

Если \(\displaystyle{a=1}\), то \(\displaystyle{\sqrt[n]{a}=1}\), т.е. утверждение задачи очевидно. Рассмотрим случай \(\displaystyle{0\lt{a}\lt{1}}\).

В задачнике Кудрявцева "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, параграф №8, примере №9) доказывается, что при \(\displaystyle{a\gt{1}}\) верно равенство \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1}\). Доказательство этого же утверждения можно найти, например, и в книге Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (том №1, пункт №25, пример №5).

Используя этот факт, и учитывая, что при условии \(\displaystyle{0\lt{a}\lt{1}}\) будем иметь \(\displaystyle{\frac{1}{a}\gt{1}}\), получим:

Утверждение доказано.