Задача №2382

Решение

Сразу отметим, что \(\displaystyle{u_n(x) = e^{-nx} \gt {0}}\) при любых значениях \(\displaystyle{n\in{N}}\), \(\displaystyle{x\in{R}}\). Это значит, что \(\displaystyle{\left|u_n(x)\right| = u_n(x)}\), т.е. области сходимости и абсолютной сходимости для данного ряда совпадают.

Найдём значения \(\displaystyle{x}\), при которых ряд сходится. Тут можно поступить по-разному. Например, записать общий член ряда в таком виде: \(\displaystyle{u_n(x) = \left(e^{-x}\right)^n}\), а потом сказать, что ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}q^n}\) абсолютно сходится при \(\displaystyle{|q|\lt{1}}\) и расходится в иных случаях. Это будет означать, что ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)}\) сходится, только если \(\displaystyle{e^{-x}\lt{1}}\), т.е. \(\displaystyle{x\gt{0}}\).

Можно пойти иным путём: применить, например, радикальный признак Коши:

Если \(\displaystyle{e^{-x}\lt{1}}\), т.е. \(\displaystyle{x\gt{0}}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)}\) сходится. Если же \(\displaystyle{x=0}\), то имеем \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}1}\). Полученный ряд расходится.

Подводя итоги, получаем, что ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)}\) сходится абсолютно на интервале \(\displaystyle{(0;+\infty)}\).