Задача №2381
Условие
Найти предельную функцию \(\displaystyle{f(x)}\) последовательности \(\displaystyle{\left\{f_n(x) \right\}}\) на множестве \(\displaystyle{E}\), где \(\displaystyle{f_n(x) = x^n - 3x^{n+2}+2x^{n+3}}\), \(\displaystyle{E=[0;1]}\).
Решение
Если \(\displaystyle{0\le{x}\lt{1}}\), то получим:
\[
\lim_{n\to\infty}f_n(x)
= \lim_{n\to\infty}\left(x^n - 3x^{n+2}+2x^{n+3}\right)
=0-3\cdot{0}+2\cdot{0}
=0
\]
Если же \(\displaystyle{x=1}\), то
\[
\lim_{n\to\infty}f_n(x)
= \lim_{n\to\infty}\left(x^n - 3x^{n+2}+2x^{n+3}\right)
= \lim_{n\to\infty}\left(1^n - 3\cdot{1}^{n+2}+2\cdot{1}^{n+3}\right)
=0
\]
Следовательно, \(\displaystyle{f(x)=0}\).
Ответ:
\(\displaystyle{f(x)=0}\)Источники задачи
| Задачник №3 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2) |
| Параграф №17 | Сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей |
| Задача №1 | |
| Пункт №1 |