Задача №2376
Условие
Доказать, что годограф вектор-функции \(\displaystyle{\bar{r} = \sin{2\varphi}\;\bar{i} + \left(1-\cos{2\varphi}\right)\bar{j}+2\cos{\varphi}\;\bar{k}}\) лежит на сфере.
Решение
Найдём \(\displaystyle{\left|\bar{r}\right|^2}\):
\[
\left|\bar{r}\right|^2
=\left(\sin{2\varphi}\right)^2 + \left(1-\cos{2\varphi}\right)^2 + \left(2\cos{\varphi}\right)^2 =\\
=\sin^2{2\varphi} + 1-2\cos{2\varphi}+\cos^2{2\varphi} + 4\cos^2{\varphi}
= 2 - 2\cos{2\varphi} + 4\cos^2{\varphi}
= 2 - 2\cos{2\varphi} + 2 + 2\cos{2\varphi}
=4.
\]
Так как \(\displaystyle{\left|\bar{r}\right|^2 = 4}\), то \(\displaystyle{\left|\bar{r}\right| = 2}\). Годограф заданной вектор-функции лежит на сфере с центром в начале координат и радиусом, равным 2.
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №24 | Вектор-функции. Кривые |
| Задача №2 |