Задача №2375

Условие

Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точку \(\displaystyle{A(1;2)}\) и отсекающей от первого координатного угла треугольник наименьшей площади.

Решение

Пусть прямая отсекает на осях координат отрезки \(\displaystyle{a}\) и \(\displaystyle{b}\), тогда уравнение прямой будет таким: \(\displaystyle{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}\).

Так как прямая проходит через точку \(\displaystyle{A(1;2)}\), то

\[ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1;\; b=\frac{2a}{a-1}. \]

Площадь отсекаемого треугольника такова:

\[ S = \frac{ab}{2} =\frac{a^2}{a-1} =\frac{a^2-1+1}{a-1} =\frac{(a-1)(a+1)+1}{a-1} =a + 1 + \frac{1}{a-1} \]

Найдём \(\displaystyle{S'}\) и \(\displaystyle{S''}\):

\[ \begin{aligned} & S' = 1-\frac{1}{(a-1)^2};\\ & S'' = \frac{2}{(a-1)^3}. \end{aligned} \]

Здесь \(\displaystyle{a\gt{1}}\), поэтому равенство \(\displaystyle{S' = 0}\) возможно лишь при \(\displaystyle{a=2}\). При этом имеем \(\displaystyle{S'(2) = 2\gt{0}}\), т.е. \(\displaystyle{a=2}\) – точка минимума функции \(\displaystyle{S(a)}\).

Угловой коэффициент прямой будет таким:

\[ k = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{a-1} = -\frac{2}{2-1} = -2. \]

Ответ:

\(\displaystyle{-2}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №2	Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1)
Параграф №22	Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений
Задача №6