Задача №2373
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}}\).
Решение
\[
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o{\left(x^2\right)};\\
\ln(1+x) - x = - \frac{x^2}{2} + o{\left(x^2\right)}.
\]
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}
=\lim_{x\to{0}}\frac{- \frac{x^2}{2} + o{\left(x^2\right)}}{x^2}
=\lim_{x\to{0}} \left( -\frac{1}{2} + \frac{o{\left(x^2\right)}}{x^2}\right)
= -\frac{1}{2} + 0
= -\frac{1}{2}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{1}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №19 | Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора |
| Задача №1 | |
| Пункт №1 |