Задача №2371

Решение

Пусть \(\displaystyle{a}\) и \(\displaystyle{b}\) – корни многочлена \(\displaystyle{f(x)}\). Функция \(\displaystyle{f(x)}\) дифференцируема на R, а значит, будет непрерывна на отрезке \(\displaystyle{[a;b]}\) и дифференцируема в интервале \(\displaystyle{(a;b)}\).

Так как \(\displaystyle{f(a) = f(b) = 0}\), то согласно теореме Ролля существует хотя бы одна точка \(\displaystyle{c\in (a;b)}\), в которой \(\displaystyle{f'(c)=0}\). Утверждение задачи доказано.