Задача №2368
Условие
Используя признак сравнения, исследовать ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n}\) на сходимость, если \(\displaystyle{a_n = \sin\frac{3+(-1)^n}{n^2}}\).
Решение
Сразу отметим, что \(\displaystyle{a_n\gt{0}}\). Действительно, \(\displaystyle{a_1 = \sin{2} \gt {0}}\). Если же \(\displaystyle{n\ge{2}}\), то:
Следовательно, и при \(\displaystyle{n\ge{2}}\) имеем \(\displaystyle{a_n \gt {0}}\). Далее используем неравенство \(\displaystyle{\sin{x}\lt{x}}\) при условии \(\displaystyle{x\gt{0}}\).
Доказательство неравенства \(\displaystyle{\sin{x}\lt{x}}\) при \(\displaystyle{x\gt{0}}\).
Рассмотрим функцию \(\displaystyle{f(x)=x-\sin{x}}\). Так как \(\displaystyle{f'(x)=1-\cos{x}}\), то функция \(\displaystyle{f(x)}\) возрастает на \(\displaystyle{R}\), ибо производная \(\displaystyle{f'(x)}\) неотрицательна и обращается в нуль лишь для значений \(\displaystyle{x=2\pi{k}}\), \(\displaystyle{k\in{Z}}\). С учётом возрастания функции \(\displaystyle{f(x)}\) имеем, что при \(\displaystyle{x\gt{0}}\) истинно неравенство \(\displaystyle{f(x)\gt{f(0)}}\), т.е. \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\), что и доказывает неравенство \(\displaystyle{\sin{x}\lt{x}}\).
С учётом неравенства \(\displaystyle{\sin{x}\lt{x}}\) получим:
Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\) сходится, поэтому будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2}}\). Следовательно, согласно признаку сравнения, ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n}\) является сходящимся.
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №3 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2) |
| Параграф №14 | Ряды с неотрицательными членами |
| Задача №2 | |
| Пункт №5 |