Задача №2367
Условие
Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды \(\displaystyle{x=a(t-\sin{t})}\), \(\displaystyle{y=a(1-\cos{t})}\) и осью абсцисс.
Решение
Определим значения \(\displaystyle{t}\), при которых циклоида пересекает ось абсцисс:
\[
a(1-\cos{t})=0;\;
\cos{t}=1;\;
t=2\pi{n},\; n\in{Z}.
\]
Рассмотрим арку циклоиды, для которой \(\displaystyle{0\le{t}\le{2\pi}}\):
\[
S
=\int\limits_{0}^{2\pi}y(t)x'(t)\,dt
=a^2\int\limits_{0}^{2\pi}(1-\cos{t})^2 dt
=a^2\int\limits_{0}^{2\pi}\left(1-2\cos{t} + \cos^2{t}\right) dt=\\
=a^2\int\limits_{0}^{2\pi}\left(\frac{3}{2}-2\cos{t} + \frac{1}{2}\cos{2t}\right) dt
=a^2\cdot\left.\left(\frac{3t}{2}-2\sin{t}+\frac{1}{4}\sin{2t}\right)\right|_{0}^{2\pi}
=3\pi{a^2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{3\pi{a^2}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №8 | Применения интеграла |
| Параграф №1 | Некоторые задачи геометрии и статики |
| Задача №2490 |
| Задачник №3 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2) |
| Параграф №7 | Вычисление площадей плоских фигур и длин кривых |
| Задача №26 |
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №4 | Определённый интеграл |
| Задача №2413 |