Задача №2366

Решение

Обозначим искомую прямую как \(\displaystyle{L_1}\). Она проходит через точку \(\displaystyle{M_1(-4;-5;3)}\) и имеет направляющий вектор \(\displaystyle{\bar{s}_1(m;n;k)}\).

Заданные по условию прямые обозначим как \(\displaystyle{L_2}\) и \(\displaystyle{L_3}\). Прямая \(\displaystyle{L_2}\) имеет направляющий вектор \(\displaystyle{\bar{s}_2(3; -2; -1)}\) и проходит через точку \(\displaystyle{M_2(-1; -3; 2)}\). Прямая \(\displaystyle{L_3}\) имеет направляющий вектор \(\displaystyle{\bar{s}_3(2; 3; -5)}\) и проходит через точку \(\displaystyle{M_3(2; -1; 1)}\).

Первый способ

Используем условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости. Это условие сформулировано в задаче №1028 этого же сборника. Суть условия такова: пусть первая прямая проходит через точку \(\displaystyle{M_1(a_1;b_1;c_1)}\) и имеет направляющий вектор \(\displaystyle{\bar{s}_1(l_1; m_1; n_1)}\). Для второй прямой имеем точку \(\displaystyle{M_2(a_2;b_2;c_2)}\) и направляющий вектор \(\displaystyle{\bar{s}_2(l_2; m_2; n_2)}\). Две прямые лежат в одной плоскости в случае, если выполнено следующее равенство:

Так как прямые \(\displaystyle{L_1}\) и \(\displaystyle{L_2}\) пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Применяя записанную выше формулу, имеем:

Аналогично, исходя из пересечения прямых \(\displaystyle{L_1}\) и \(\displaystyle{L_3}\) будем иметь:

Получили систему уравнений:

Решая эту систему, найдём \(\displaystyle{m=-3k}\), \(\displaystyle{n=-2k}\). Полагая \(\displaystyle{k=-1}\), получим вектор \(\displaystyle{\bar{s}_1(3; 2; -1)}\). Уравнения прямой \(\displaystyle{L_1}\) будут такими:

Второй способ

Пусть \(\displaystyle{\alpha}\) – плоскость, проходящая через прямые \(\displaystyle{L_1}\) и \(\displaystyle{L_2}\). Нормальный вектор этой плоскости будет таким:

В качестве нормального вектора плоскости \(\displaystyle{\alpha}\) удобнее принять вектор \(\displaystyle{\bar{n}_{\alpha}=\frac{1}{4}\cdot(4;0;12) = (1;0;3)}\).

Пусть \(\displaystyle{\beta}\) – плоскость, проходящая через прямые \(\displaystyle{L_1}\) и \(\displaystyle{L_3}\). Нормальный вектор этой плоскости будет таким:

В качестве нормального вектора плоскости \(\displaystyle{\beta}\) удобнее принять вектор \(\displaystyle{\bar{n}_{\beta}=\frac{1}{2}\cdot(14;-26;-10) = (7;-13;-5)}\).

Плоскости \(\displaystyle{\alpha}\) и \(\displaystyle{\beta}\) пересекаются по прямой \(\displaystyle{L_1}\). Направляющий вектор прямой \(\displaystyle{L_1}\) будет таким:

В качестве направляющего вектора прямой \(\displaystyle{L_1}\) возьмём вектор \(\displaystyle{\bar{s}_{1}=\frac{1}{13}\cdot(39;26;-13) = (3;2;-1)}\). Уравнения прямой \(\displaystyle{L_1}\) будут такими: