Задача №2365
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{2-\sin{x}}{2+\cos{x}}dx}\).
Решение
Рассмотрим вспомогательный интеграл, в котором используем универсальную тригонометрическую подстановку:
\[
\int\frac{dx}{2+\cos{x}}
=\left[ t=\tg\frac{x}{2} \right]
=\int\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}}
=2\int\frac{dt}{t^2+3}
=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctg\frac{t}{\sqrt{3}}+C
=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctg\frac{\tg\frac{x}{2}}{\sqrt{3}}+C
\]
Обратимся к исходному интегралу:
\[
\int\frac{2-\sin{x}}{2+\cos{x}}dx
=\int\frac{-\sin{x}}{2+\cos{x}}dx + \int\frac{2}{2+\cos{x}}dx=\\
=\int\frac{d(2+\cos{x})}{2+\cos{x}} + 2\int\frac{dx}{2+\sin{x}}
=\ln\left(2+\cos{x}\right) + \frac{4}{\sqrt{3}}\arctg\frac{\tg\frac{x}{2}}{\sqrt{3}}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln\left(2+\cos{x}\right) + \frac{4}{\sqrt{3}}\arctg\frac{\tg\frac{x}{2}}{\sqrt{3}}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2112 |