Задача №2364
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{5+4\sin{x}}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{5+4\sin{x}}
=\left[ t=\tg\frac{x}{2} \right]
=\int\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{5+4\cdot\frac{2t}{1+t^2}}=\\
=\frac{2}{5}\int\frac{d\left(t+\frac{4}{5}\right)}{\left(t+\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{3}{5}\right)^2}
=\frac{2}{3}\arctg\frac{5t+4}{3}+C
=\frac{2}{3}\arctg\frac{5\tg\frac{x}{2}+4}{3}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{2}{3}\arctg\frac{5\tg\frac{x}{2}+4}{3}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2111 |