Задача №2361
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\cos^2{x}dx}{\sin{x}\cdot\cos{3x}}}\).
Решение
В ходе решения будем применять такую формулу:
\[
\cos{3x} = \cos^3{x} - 3\sin^2{x}\cdot\cos{x}
\]
\[
\int\frac{\cos^2{x}dx}{\sin{x}\cdot\cos{3x}}
=\int\frac{\cos^2{x}dx}{\sin{x}\cdot\left( \cos^3{x} - 3\sin^2{x}\cdot\cos{x}\right)}
=\int\frac{\cos{x}dx}{\sin{x}\cdot\left( \cos^2{x} - 3\sin^2{x}\right)} = \\
=\int\frac{\ctg{x}\cdot\frac{dx}{\sin^2{x}}}{\ctg^2{x} - 3}
=-\frac{1}{2}\int\frac{d\left(\ctg^2{x} - 3\right)}{\ctg^2{x} - 3}
=-\frac{1}{2}\ln\left| \ctg^2{x} - 3 \right| + C
\]
При желании, учитывая \(\displaystyle{\ctg{x}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}}\) и \(\displaystyle{-\frac{1}{2}\ln{a} = \ln\frac{1}{\sqrt{a}}}\), можно привести полученный ответ к той форме, который указан в задачнике Бермана.
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{1}{2}\ln\left| \ctg^2{x} - 3 \right| + C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2108 |