Задача №2359
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{a\cos{x}+b\sin{x}}}\).
Решение
Случай \(\displaystyle{b=0}\) банально сводится к табличному интегралу. Пусть \(\displaystyle{b\neq{0}}\). Обзначим \(\displaystyle{\varphi = \arctg\frac{a}{b}}\). Кроме того, учтём, что
\[
\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\varphi}} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\]
\[
\int\frac{dx}{a\cos{x}+b\sin{x}}
=\frac{1}{b}\int\frac{dx}{\frac{a}{b}\cos{x}+\sin{x}}
=\frac{1}{b}\int\frac{dx}{\tg\varphi\cos{x}+\sin{x}}
=\frac{1}{b}\int\frac{\cos\varphi\,{dx}}{\sin\varphi\cdot\cos{x}+\sin{x}\cdot\cos\varphi}=\\
=\frac{\cos\varphi}{b}\int\frac{d(x+\varphi)}{\sin(x+\varphi)}
=\frac{\cos\varphi}{b}\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2} + \frac{\varphi}{2} \right)\right| + C
=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ln\left|\tg\frac{x+\arctg\frac{a}{b}}{2}\right| + C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ln\left|\tg\frac{x+\arctg\frac{a}{b}}{2}\right| + C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2106 |