Задача №2357
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{(\sin{x} + \cos{x})^2}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{(\sin{x} + \cos{x})^2}
=\int\frac{\frac{dx}{\cos^2{x}}}{(\frac{\sin{x}}{\cos{x}} + 1)^2}
=\int\frac{d(\tg{x}+1)}{(\tg{x} + 1)^2}
=-\frac{1}{\tg{x}+1} + C
\]
В принципе, можно решить эту задачу и по-иному: применить формулу \(\displaystyle{\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)}\).
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{1}{\tg{x}+1} + C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2104 |