Задача №2356
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\cos^4{x}+\sin^4{x}}{\cos^2{x}-\sin^2{x}}dx}\).
Решение
\[
\int\frac{\cos^4{x}+\sin^4{x}}{\cos^2{x}-\sin^2{x}}dx
=\int\frac{\left(\cos^2{x}+\sin^2{x}\right)^2 - 2\sin^2{x}\cos^2{x}}{\cos^2{x}-\sin^2{x}}dx
=\int\frac{1 - \frac{1}{2}\sin^2{2x}}{\cos{2x}}dx=\\
=\int\frac{1 - \frac{1}{2}\left(1-\cos^2{2x}\right)}{\cos{2x}}dx
=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{\cos{2x}} + \cos{2x}\right)dx
=\frac{1}{4}\ln\left|\tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right| + \frac{1}{4}\sin{2x} + C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{4}\ln\left|\tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right| + \frac{1}{4}\sin{2x} + C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2103 |