Задача №2355
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\tg^8{x}}}\).
Решение
В принципе, тут можно сделать подстановку \(\displaystyle{t=\tg{x}}\), но проще будет работать с подстановкой \(\displaystyle{t=\ctg{x}}\). Именно эту подстановку мы и сделаем. С учётом \(\displaystyle{dx=-\frac{dt}{t^2+1}}\), будем иметь:
\[
\int\frac{dx}{\tg^8{x}}
=\int\ctg^8{x}\,dx
=-\int\frac{t^8 dt}{t^2+1}
=\int\left(-\frac{1}{t^2+1} - t^6 + t^4 - t^2 +1 \right)dt = \\
=\arcctg{t} - \frac{t^7}{7} + \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} + t + C
=x - \frac{\ctg^7{x}}{7} + \frac{\ctg^5{x}}{5} - \frac{\ctg^3{x}}{3} + \ctg{x} + C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{x - \frac{\ctg^7{x}}{7} + \frac{\ctg^5{x}}{5} - \frac{\ctg^3{x}}{3} + \ctg{x} + C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2101 |