Задача №2354
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{1+\sin{x}+\cos{x}}}\).
Решение
Осуществляя замену \(\displaystyle{t=\tg\frac{x}{2}}\), будем иметь:
\[
\int\frac{dx}{1+\sin{x}+\cos{x}}
=\int\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{1+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}
=\int\frac{dt}{t+1}
=\ln|t+1|+C
=\ln\left|\tg\frac{x}{2}+1\right|+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln\left|\tg\frac{x}{2}+1\right|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2211 |