Задача №2353
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{x\left(x^2+4\right)^2\left(x^2+1\right)}}\).
Решение
\[
\frac{1}{x\left(x^2+4\right)^2\left(x^2+1\right)}
=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}+\frac{Dx+E}{\left(x^2+4\right)^2}+\frac{Fx+G}{x^2+1}=\\
=\frac{A\left(x^2+4\right)^2\left(x^2+1\right)+(Bx+C)x\left(x^2+4\right)\left(x^2+1\right)+(Dx+E)x\left(x^2+1\right)+(Fx+G)x\left(x^2+4\right)^2}{x\left(x^2+4\right)^2\left(x^2+1\right)}
\]
\[
1
=A\left(x^2+4\right)^2\left(x^2+1\right)+(Bx+C)x\left(x^2+4\right)\left(x^2+1\right)+(Dx+E)x\left(x^2+1\right)+(Fx+G)x\left(x^2+4\right)^2
\]
\[
\begin{aligned}
& x=0 \; \Rightarrow \; 1=16A;\; A=\frac{1}{16}.\\
& x=i \; \Rightarrow \; 1=(Fi +G)\cdot{9i};\; -\frac{1}{9}i=G+Fi;\; F=-\frac{1}{9};\; G=0.\\
& x=2i \; \Rightarrow \; 1=(2iD + E)\cdot{(-6i)};\; \frac{1}{6}i=E+2iD;\; D=\frac{1}{12};\; E=0.
\end{aligned}
\]
На этом "хорошие" подстановки закончились. Однако большая часть коэффициентов найдена, поэтому можем просто подставить два произвольных числа, чтобы составить систему уравнений:
\[
\begin{aligned}
& x=1 \; \Rightarrow \; 10B+10C+\frac{37}{72}=1;\; B+C=\frac{7}{144}.\\
& x=-1 \; \Rightarrow \; 10B-10C+\frac{37}{72}=1;\; B-C=\frac{7}{144}.
\end{aligned}
\]
Решая полученную систему, будем иметь \(\displaystyle{B=\frac{7}{144}}\), \(\displaystyle{C=0}\). Значения всех параметров найдены:
\[
\frac{1}{x\left(x^2+4\right)^2\left(x^2+1\right)}
=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x}+\frac{7}{144}\cdot\frac{x}{x^2+4}+\frac{1}{12}\cdot\frac{x}{\left(x^2+4\right)^2}-\frac{1}{9}\cdot\frac{x}{x^2+1}
\]
\[
\int\frac{dx}{x\left(x^2+4\right)^2\left(x^2+1\right)}
=\int\left(\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x}+\frac{7}{144}\cdot\frac{x}{x^2+4}+\frac{1}{12}\cdot\frac{x}{\left(x^2+4\right)^2}-\frac{1}{9}\cdot\frac{x}{x^2+1}\right)dx = \\
=\frac{1}{16}\ln|x|+\frac{7}{288}\ln\left(x^2+4\right) - \frac{1}{24\left(x^2+4\right)}-\frac{1}{18}\ln\left(x^2+1\right)+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{16}\ln|x|+\frac{7}{288}\ln\left(x^2+4\right) - \frac{1}{24\left(x^2+4\right)}-\frac{1}{18}\ln\left(x^2+1\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2049 |