Задача №2352
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\left(e^{3x}+e^x\right)dx}{e^{4x}-e^{2x}+1}}\).
Решение
\[
\int\frac{\left(e^{3x}+e^x\right)dx}{e^{4x}-e^{2x}+1}
=\int\frac{\left(e^{3x}+e^x\right)e^{-2x}dx}{\left(e^{4x}-e^{2x}+1\right)e^{-2x}}=\\
=\int\frac{\left(e^{x}+e^{-x}\right)dx}{e^{2x}-1+e^{-2x}}
=\int\frac{d\left(e^x-e^{-x}\right)}{1+\left(e^x-e^{-x}\right)^2}
=\arctg\left(e^x-e^{-x}\right)+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\arctg\left(e^x-e^{-x}\right)+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2221 |