Задача №2351
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\left(3+x^2\right)^2 x^3 dx}{\left(1+x^2\right)^3}}\).
Решение
\[
\int\frac{\left(3+x^2\right)^2 x^3 dx}{\left(1+x^2\right)^3}
=\frac{1}{2}\int\frac{\left(3+x^2\right)^2 x^2 d\left(x^2 + 1\right)}{\left(1+x^2\right)^3}
=\left[t=x^2+1\right]
=\frac{1}{2}\int\frac{(t+2)^2(t-1)dt}{t^3}=\\
=\frac{1}{2}\int\left(1+\frac{3}{t}-4t^{-3}\right)dt
=\frac{t}{2}+\frac{3}{2}\ln|t|+\frac{1}{t^2}+C
=\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2}\ln\left(x^2+1\right)+\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2}\ln\left(x^2+1\right)+\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2225 |