Задача №2349
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\left(\frac{2}{\pi}\arccos{x}\right)^{\frac{1}{x}}}\).
Решение
Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\ln\left(\frac{2}{\pi}\arccos{x}\right)}{x}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\ln\left(\frac{2}{\pi}\arccos{x}\right)\right)'}{x'}
=\lim_{x\to{0}}\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}\arccos{x}}
=-\frac{2}{\pi}
\]
Вернёмся к исходному пределу:
\[
\lim_{x\to{0}}\left(\frac{2}{\pi}\arccos{x}\right)^{\frac{1}{x}}
=\lim_{x\to{0}}e^{\frac{\ln\left(\frac{2}{\pi}\arccos{x}\right)}{x}}
=e^{-\frac{2}{\pi}}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{e^{-\frac{2}{\pi}}}\)Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №17 | Правило Лопиталя |
| Задача №64 |