Задача №2348
Условие
Найти n-ю частичную сумму \(\displaystyle{S_n}\) ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=2}^{\infty}\ln\frac{n^3-1}{n^3+1}}\) и сумму \(\displaystyle{S}\) этого ряда.
Решение
Начнём нумерацию с единицы – это мне видится немного более удобным.
\[
\sum\limits_{n=2}^{\infty}\ln\frac{n^3-1}{n^3+1}
=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\ln\frac{(n-1)\left(n^2+n+1\right)}{(n+1)\left(n^2-n+1\right)}=\\
=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n\left((n+1)^2+n+1+1\right)}{(n+2)\left((n+1)^2-(n+1)+1\right)}
=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n\left(n^2+3n+3\right)}{(n+2)\left(n^2+n+1\right)}
\]
Теперь составим \(\displaystyle{S_n}\).
\[
\]
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}\ln\frac{k\left(k^2+3k+3\right)}{(k+2)\left(k^2+k+1\right)}
=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\ln{k}+\ln\left(k^2+3k+3\right)-\ln(k+2)-\ln\left(k^2+k+1\right)\right)=\\
=\sum\limits_{k=1}^{n}\ln{k} - \sum\limits_{k=1}^{n}\ln(k+2)
+ \sum\limits_{k=1}^{n}\ln\left((k+1)^2 + (k+1) + 1\right)
- \sum\limits_{k=1}^{n}\ln\left(k^2+k+1\right) = \\
=\sum\limits_{k=1}^{n}\ln{k} - \sum\limits_{k=3}^{n+2}\ln{k} + \sum\limits_{k=2}^{n+1}\ln\left(k^2+k+1\right) - \sum\limits_{k=1}^{n}\ln\left(k^2+k+1\right) = \\
= \sum\limits_{k=1}^{n+2}\ln{k}-\ln(n+1)-\ln(n+2)
- \left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\ln{k} - \ln{2}\right) + \\
+ \sum\limits_{k=1}^{n+1}\ln\left(k^2+k+1\right) - \ln{3}
- \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\ln\left(k^2+k+1\right) - \ln\left((n+1)^2+n+1+1\right)\right) =\\
= -\ln(n+1)-\ln(n+2) + \ln\frac{2}{3} + \ln\left(n^2 + 3n + 3\right)
= \ln\frac{n^2+3n+3}{n^2+3n+2} + \ln\frac{2}{3}
\]
Зная \(\displaystyle{S_n}\), вычислим \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}S_n}\):
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
= \lim_{n\to\infty}\left( \ln\frac{n^2+3n+3}{n^2+3n+2} + \ln\frac{2}{3} \right)
= \ln\frac{2}{3}
\]
Итак, сумма ряда равна \(\displaystyle{\ln\frac{2}{3}}\). К слову, насколько я могу судить, ответ в задачнике неверен.
Ответ:
\(\displaystyle{S_n = \ln\frac{n^2+3n+3}{n^2+3n+2} + \ln\frac{2}{3}}\), \(\displaystyle{S = \ln\frac{2}{3}}\).
Источники задачи
| Задачник №3 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2) |
| Параграф №13 | Свойства сходящихся рядов |
| Задача №6 | |
| Пункт №3 |