Задача №2345
Условие
Вычислить криволинейный интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{L}(x+y)\,ds}\), где \(\displaystyle{L}\) – четверть окружности \(\displaystyle{x^2+y^2+z^2 = a^2}\), \(\displaystyle{y=x}\), расположенная в первом октанте.
Решение
Запишем уравнение окружности в параметрической форме:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x^2+y^2+z^2=a^2;\\
& y=x.
\end{aligned}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& 2x^2+z^2=a^2;\\
& y=x.
\end{aligned}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& x=\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\cos{t};\\
& y=\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\cos{t};\\
& z=a\sin{t}.
\end{aligned}\right.
\]
Для дуги \(\displaystyle{L}\) имеем \(\displaystyle{0\le{t}\le\frac{\pi}{2}}\).
\[
ds
= \sqrt{\left(x'_{t}\right)^2+\left(y'_{t}\right)^2+\left(z'_{t}\right)^2}dt
= a dt
\]
\[
\int\limits_{L}(x+y)\,ds
=\sqrt{2}a^2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{t}\,dt
=\sqrt{2}a^2
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\sqrt{2}a^2}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №13 | Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности |
| Параграф №1 | Криволинейные интегралы по длине |
| Задача №3783 |
| Задачник №4 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №3) |
| Параграф №10 | Криволинейные интегралы |
| Задача №16 |