Задача №2343

Условие

Вычислить криволинейный интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{L}xy\,ds}\), если \(\displaystyle{L}\) – четверть эллипса, лежащая в первом квадранте.

Решение

Запишем уравнение эллипса в параметрической форме: \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned} & x=a\cos{t};\\ & y=b\sin{t}.\end{aligned}\right.}\). Для первой четверти \(\displaystyle{0\leqslant{t}\leqslant\frac{\pi}{2}}\).

\[ ds=\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}\,dt \]

\[ \int\limits_{L}xy\,ds =ab\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{t}\sin{t}\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}\,dt=\\ =ab\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{t}\sin{t}\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\left(1-\sin^2t\right)}\,dt =\frac{ab}{2}\cdot\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\left(a^2-b^2\right)\sin^2t+b^2}\,d\left(\sin^2{t}\right) \]

Осуществляя замену \(\displaystyle{u=\sin^2{t}}\), где \(\displaystyle{0\leqslant{u}\leqslant{1}}\), будем иметь такой интеграл:

\[ \frac{ab}{2}\cdot\int\limits_{0}^{1}\sqrt{\left(a^2-b^2\right)u+b^2}\,du \]

Рассмотрим два случая: \(\displaystyle{a=b}\) и \(\displaystyle{a\neq{b}}\). Если \(\displaystyle{a=b}\), то получим:

\[ \frac{ab}{2}\cdot\int\limits_{0}^{1}\sqrt{\left(a^2-b^2\right)u+b^2}\,du =\frac{a^3}{2}\cdot\int\limits_{0}^{1}du =\frac{a^3}{2} \]

Если \(\displaystyle{a\neq{b}}\), то:

\[ \frac{ab}{2}\cdot\int\limits_{0}^{1}\sqrt{\left(a^2-b^2\right)u+b^2}\,du =\frac{ab}{2\left(a^2-b^2\right)}\cdot\int\limits_{0}^{1}\left(\left(a^2-b^2\right)u+b^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\left(a^2-b^2\right)u+b^2\right)=\\ =\frac{ab}{3\left(a^2-b^2\right)}\cdot\left.\left(\left(a^2-b^2\right)u+b^2\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0}^{1} =\frac{ab\left(a^3-b^3\right)}{3\left(a^2-b^2\right)} =\frac{ab\left(a^2+ab+b^2\right)}{3(a+b)} \]

Если \(\displaystyle{a=b}\), то имеем \(\displaystyle{\frac{ab\left(a^2+ab+b^2\right)}{3(a+b)} = \frac{a^3}{2}}\), т.е. найденный ранее ответ есть частный случай полученной формулы.

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{ab\left(a^2+ab+b^2\right)}{3(a+b)}}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №4	Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №3)
Параграф №10	Криволинейные интегралы
Задача №2
Пункт №2