Задача №2338
Условие
Найти двойным интегрированием объём тела, ограниченного параболоидом вращения \(\displaystyle{z=x^2+y^2}\), координатными плоскостями и плоскостью \(\displaystyle{x+y=1}\).
Решение
В проекции на плоскость \(\displaystyle{Oxy}\) имеем область \(\displaystyle{D}\), ограниченную осями координат и прямой \(\displaystyle{y=1-x}\):
Для области \(\displaystyle{D}\) имеем \(\displaystyle{0\le{x}\le{1}}\), \(\displaystyle{0\le{y}\le{1-x}}\).
\[
V
= \iint\limits_{D}\left(x^2+y^2\right)dxdy
= \int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1-x}\left(x^2+y^2\right)dy
= \int\limits_{0}^{1}\left.\left(x^2y+\frac{y^3}{3}\right)\right|_{0}^{1-x}dx = \\
= \int\limits_{0}^{1}\left(-\frac{4x^3}{3}+2x^2-x+\frac{1}{3}\right)dx
= \left.\left(-\frac{x^4}{3}+\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\frac{x}{3}\right)\right|_{0}^{1}
= \frac{1}{6}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{6}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №12 | Многомерные интегралы и кратное интегрирование |
| Параграф №4 | Применение двойных и тройных интегралов |
| Задача №3563 |