Задача №2337

Решение

Уравнение из сборников до 2015 года

Перепишем уравнение в виде

Уравнение \(\displaystyle{\eqref{eq:1*}}\) имеет вид \(\displaystyle{Pdx+Qdy=0}\), где \(\displaystyle{P(x,y)=x-\frac{y}{x^2+y^2}}\), \(\displaystyle{Q(x,y)=y+\frac{x}{x^2+y^2}}\).

Функции \(\displaystyle{P}\), \(\displaystyle{Q}\), а также их частные производные \(\displaystyle{\frac{\partial{P}}{\partial{y}}}\) и \(\displaystyle{\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}}\) непрерывны в односвязных областях \(\displaystyle{D_1=\left\{\left.(x;y)\in{R^2}\right|y\lt{0}\right\}}\) и \(\displaystyle{D_2=\left\{\left.(x;y)\in{R^2}\right|y\gt{0}\right\}}\). Так как при этом в областях \(\displaystyle{D_1}\) и \(\displaystyle{D_2}\) выполнено равенство \(\displaystyle{\frac{\partial{P}}{\partial{y}}=\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}}\), то уравнение \(\displaystyle{\eqref{eq:1*}}\) является уравнением в полных дифференциалах. Это значит, что выражение \(\displaystyle{Pdx+Qdy}\), расположенное в левой части заданного уравнения, является полным дифференциалом некоторой функции \(\displaystyle{u(x,y)}\).

Из равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:2*}}\) следует, что

Дифференцируем обе части полученного равенства по \(\displaystyle{y}\). С учётом равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:3*}}\) будем иметь:

Принимая \(\displaystyle{C_1=0}\), получим \(\displaystyle{f(y)=\frac{y^2}{2}}\), откуда \(\displaystyle{u=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}-\arctg\frac{x}{y}}\). Общий интеграл уравнения \(\displaystyle{\eqref{eq:1*}}\) имеет вид \(\displaystyle{u(x,y)=C}\), т.е.

Уравнение из сборника 2015 года

Перепишем уравнение в виде

Уравнение \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) имеет вид \(\displaystyle{Pdx+Qdy=0}\), где \(\displaystyle{P(x,y)=\frac{x-y}{x^2+y^2}}\), \(\displaystyle{Q(x,y)=\frac{x+y}{x^2+y^2}}\).

Функции \(\displaystyle{P}\), \(\displaystyle{Q}\), а также их частные производные \(\displaystyle{\frac{\partial{P}}{\partial{y}}}\) и \(\displaystyle{\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}}\) непрерывны в односвязных областях \(\displaystyle{D_1=\left\{\left.(x;y)\in{R^2}\right|y\lt{0}\right\}}\) и \(\displaystyle{D_2=\left\{\left.(x;y)\in{R^2}\right|y\gt{0}\right\}}\). Так как при этом в областях \(\displaystyle{D_1}\) и \(\displaystyle{D_2}\) выполнено равенство \(\displaystyle{\frac{\partial{P}}{\partial{y}}=\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}}\), то уравнение \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) является уравнением в полных дифференциалах. Это значит, что выражение \(\displaystyle{Pdx+Qdy}\), расположенное в левой части заданного уравнения, является полным дифференциалом некоторой функции \(\displaystyle{u(x,y)}\).

Из равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\) следует, что

Дифференцируем обе части полученного равенства по \(\displaystyle{y}\). С учётом равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:3}}\) будем иметь:

Принимая \(\displaystyle{C_1=0}\), получим \(\displaystyle{f(y)=0}\), откуда \(\displaystyle{u=\frac{1}{2}\ln{\left(x^2+y^2\right)}-\arctg\frac{x}{y}}\). Общий интеграл уравнения \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) имеет вид \(\displaystyle{u(x,y)=C}\), т.е.