Задача №2325

Решение

Уравнение \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) имеет вид \(\displaystyle{Pdx+Qdy=0}\), где \(\displaystyle{P(x,y)=e^y}\), \(\displaystyle{Q(x,y)=\cos{y}+xe^y}\).

Функции \(\displaystyle{P}\), \(\displaystyle{Q}\), а также их частные производные \(\displaystyle{\frac{\partial{P}}{\partial{y}}}\) и \(\displaystyle{\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}}\) непрерывны в односвязной области \(\displaystyle{D=R^2}\). Так как при этом в области \(\displaystyle{D}\) выполнено равенство \(\displaystyle{\frac{\partial{P}}{\partial{y}}=\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}}\), то уравнение \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) является уравнением в полных дифференциалах. Это значит, что выражение \(\displaystyle{Pdx+Qdy}\), расположенное в левой части заданного уравнения, является полным дифференциалом некоторой функции \(\displaystyle{u(x,y)}\).

Из равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\) следует, что

Дифференцируем обе части полученного равенства по \(\displaystyle{y}\). С учётом равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:3}}\) будем иметь:

Принимая \(\displaystyle{C_1=0}\), получим \(\displaystyle{f(y)=\sin{y}}\), откуда \(\displaystyle{u=xe^y+\sin{y}}\). Общий интеграл уравнения \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) имеет вид \(\displaystyle{u(x,y)=C}\), т.е.