Задача №2313

Решение

Уравнение \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) имеет вид \(\displaystyle{Pdx+Qdy=0}\), где \(\displaystyle{P(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\), \(\displaystyle{Q(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{1}{y}-\frac{x}{y^2}}\).

Функции \(\displaystyle{P}\), \(\displaystyle{Q}\), а также их частные производные \(\displaystyle{\frac{\partial{P}}{\partial{y}}}\) и \(\displaystyle{\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}}\) непрерывны в односвязных областях \(\displaystyle{D_1=\left\{\left.(x;y)\in{R^2}\right|x\gt{0},\;y\gt{0}\right\}}\), \(\displaystyle{D_2=\left\{\left.(x;y)\in{R^2}\right|x\lt{0},\;y\gt{0}\right\}}\), \(\displaystyle{D_3=\left\{\left.(x;y)\in{R^2}\right|x\lt{0},\;y\lt{0}\right\}}\) и \(\displaystyle{D_4=\left\{\left.(x;y)\in{R^2}\right|x\gt{0},\;y\lt{0}\right\}}\). Так как при этом в перечисленных областях выполнено равенство \(\displaystyle{\frac{\partial{P}}{\partial{y}}=\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}}\), то уравнение \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) является уравнением в полных дифференциалах. Это значит, что выражение \(\displaystyle{Pdx+Qdy}\), расположенное в левой части заданного уравнения, является полным дифференциалом некоторой функции \(\displaystyle{u(x,y)}\).

Из равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:2}}\) следует, что

Дифференцируем обе части полученного равенства по \(\displaystyle{y}\). С учётом равенства \(\displaystyle{\eqref{eq:3}}\) будем иметь:

Принимая \(\displaystyle{C_1=0}\), получим \(\displaystyle{f(y)=\ln|y|}\), откуда \(\displaystyle{u=\sqrt{x^2+y^2}+\ln|x|+\frac{x}{y}+\ln|y|}\). Общий интеграл уравнения \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) имеет вид \(\displaystyle{u(x,y)=C}\), т.е.