Задача №2266

Условие

Найти решение задачи Коши: \(\displaystyle{y'+xy=-x^3}\), \(\displaystyle{y(0)=3}\).

Решение

Заданное уравнение имеет вид \(\displaystyle{y'+p(x)y=q(x)}\), где \(\displaystyle{p(x)=x}\), \(\displaystyle{q(x)=-x^3}\), поэтому это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Функции \(\displaystyle{p(x)}\) и \(\displaystyle{q(x)}\) непрерывны при \(\displaystyle{x\in{R}}\).

Решение данного уравнения ищем в виде произведения двух функций: \(\displaystyle{y(x)=u(x)\cdot{v(x)}}\). Так как \(\displaystyle{y=uv}\), то \(\displaystyle{y'=u'v+uv'}\). Заданное уравнение примет такой вид:

\[ u'v+uv'+xuv=-x^3; \]

\[ \begin{equation} u'v+u\cdot\left(v'+xv\right)=-x^3. \tag{✳}\label{eq:1} \end{equation} \]

В качестве функции \(\displaystyle{v}\) возьмём произвольное ненулевое частное решение уравнения \(\displaystyle{v'+xv=0}\). Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

\[ v'=-xv;\quad \frac{dv}{dx}=-xv;\quad \frac{dv}{v}=-xdx.\\ \int\frac{dv}{v}=-\int{x}dx;\quad \ln|v|=-\frac{x^2}{2}+C. \]

Принимая \(\displaystyle{C=0}\), получим \(\displaystyle{|v|=e^{-\frac{x^2}{2}}}\), откуда \(\displaystyle{v=-e^{-\frac{x^2}{2}}}\) или \(\displaystyle{v=e^{-\frac{x^2}{2}}}\). Для дальнейших преобразований можно взять любую из полученных функций. Выберем \(\displaystyle{v=e^{-\frac{x^2}{2}}}\).

Подставляем \(\displaystyle{v=e^{-\frac{x^2}{2}}}\) в уравнение \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\), учитывая при этом, что \(\displaystyle{v'+xv=0}\):

\[ u'\cdot{e^{-\frac{x^2}{2}}}=-x^3;\quad u'=-x^3 e^{\frac{x^2}{2}}.\\ u=-\int{x^{3}e^{\frac{x^2}{2}}}dx =[t=x^2] =-\int{\frac{t}{2}e^{\frac{t}{2}}}dt =\left[\begin{aligned} & u=t;\;du=dt;\\ & dv=\frac{1}{2}e^{\frac{t}{2}}dt;\;v=e^{\frac{t}{2}} \end{aligned}\right]=\\ =-te^{\frac{t}{2}}+\int{e^{\frac{t}{2}}}dt =-te^{\frac{t}{2}}+2e^{\frac{t}{2}}+C =e^{\frac{x^2}{2}}(-x^2+2)+C. \]

Общее решение исходного дифференциального уравнения будет таким:

\[ y=uv=\left(e^{\frac{x^2}{2}}(-x^2+2)+C\right)\cdot{e^{-\frac{x^2}{2}}} =-x^2+2+Ce^{-\frac{x^2}{2}}. \]

Найдём значение \(\displaystyle{C}\), при котором частное решение удовлетворяет начальному условию \(\displaystyle{y(0)=3}\):

\[ 3=2+C;\; C=1. \]

Следовательно, искомое частное решение имеет такой вид:

\[ y=-x^2+2+e^{-\frac{x^2}{2}}. \]

Ответ:

\(\displaystyle{y=-x^2+2+e^{-\frac{x^2}{2}}}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №6	Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике"
Раздел №5	Дифференциальные уравнения
Параграф №3	Расчётные задания
Задача №4
Пункт №22